Question

【题目】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BC均为等边三角形，连接AE、CD，PN、BF下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DFA＝60°；③△BPN为等边三角形；④若∠1＝∠2，则FB平分∠AFC．其中结论正确的有（　　）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

由等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠ABE＝∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DFA＝60°；由ASA证明△ABP≌△DBN，得出对应边相等BP＝BN，即可得出△BPN为等边三角形；证明P、B、N、F四点共圆，由圆周角定理得出∠BFP＝∠BFN，即FB平分∠AFC．

∵△ABD、△BCE为等边三角形，

∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，

∴∠ABE＝∠DBC，∠PBN＝60°，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴①正确；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠DFA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，

∴②正确；

在△ABP和△DBN中，

，

∴△ABP≌△DBN（ASA），

∴BP＝BN，

∴△BPN为等边三角形，

∴③正确；

∵∠DFA＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠AFC+∠PBN＝180°，

∴P、B、N、F四点共圆，

∵BP＝BN，

∴弧BP=弧BN，

∴∠BFP＝∠BFN，

即FB平分∠AFC；

∴④正确；

故选：A．