Question

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO是中线，延长CO到D，使DO=CO，连接AD、BD．
（1）画出图形，判断四边形ACBD的形状，并说明理由．
（2）过点O作EO⊥AB，交BD于点E，若AB=5，AC=4，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ACBD是平行四边形，再证明是矩形．
（2）利用△BOE∽△BDA得$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BO}{BD}$，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：四边形ACBD是矩形．
理由：∵OB=OA，OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形．
（2）∵∠BOE=∠BDA，∠OBE=∠ABD，
∴△BOE∽△BDA，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BO}{BD}$，
∵BO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，BD=AC=4，
∴$\frac{BE}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴BE=$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，学会利用相似三角形的性质求线段问题，属于中考常考题型．