Question

16．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A坐标为（-1，0），顶点B的坐标为（0，-2），经过顶点C的双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与线段AD交于点E，且AE：DE=2：1，则k的值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 作EF⊥x轴于F，DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，BQ⊥y轴交CN于Q，如图，由EF∥DM得到△AEF∽△ADM，根据相似三角形的性质得$\frac{EF}{DM}$=$\frac{AE}{AD}$，而AE：DE=2：1，则$\frac{EF}{DM}$=$\frac{2}{3}$，于是可设EF=2t，DM=3t，再证明Rt△AEF∽△BAO，利用相似比得到AF=4t，则E（4t-1，2t），同样可得AM=6t，接着证明△ADM≌△BCQ得到BQ=AM=6t，CQ=DM=3t，于是可得C（6t，3t-2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征k=（4t-1）•2t=6t•（3t-2），再解关于t的方程求出t的值，从而可计算出k的值．

解答 解：作EF⊥x轴于F，DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，BQ⊥y轴交CN于Q，如图，
∵EF∥DM，
∴△AEF∽△ADM，
∴$\frac{EF}{DM}$=$\frac{AE}{AD}$，
∵AE：DE=2：1，
∴AE：AD=2：3，
∴$\frac{EF}{DM}$=$\frac{2}{3}$，设EF=2t，则DM=3t，
∵∠BAO=∠AEF，
∴Rt△AEF∽△BAO，
∴$\frac{AF}{OB}$=$\frac{EF}{OA}$，即$\frac{AF}{2}$=$\frac{2t}{1}$，解得AF=4t，
∴OF=4t-1，
∴E（4t-1，2t），
同样可得AM=6t，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，
而∠CBQ=∠ABO=∠DAM，
在△ADM和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠BQC}\\{∠DAM=∠CBQ}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BCQ，
∴BQ=AM=6t，CQ=DM=3t，
∴ON=BQ=6t，CN=CQ-NQ=3t-2，
∴C（6t，3t-2），
∵点E（4t-1，2t）和点C（6t，3t-2）都在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上，
∴（4t-1）•2t=6t•（3t-2），
整理得t²-t=0，解得t₁=1，t2=0（舍去），
∴E（3，2），
∴k=3×2=6．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的长；理解坐标与图形性质．合理添加辅助线是解决问题的关键．