Question

【题目】将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形（）对角线交点旋转（如图①→②→③），、分别为直角三角板的直角边与矩形的边、的交点．

（1）发现：在图①中，当三角板的一直角边与重合，易证，

证明方法如下：连接，

∵为矩形

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

在图③中，当三角板的一直角边与重合，求证：．

（2）根据以上学习探究：图②中、、、这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）BN2+DM2=CM2+CN2，理由见详解

【解析】

（1）连接，由中垂线的性质得，由勾股定理得，进而即可得到结论；

（2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，易证△BON≌△DOP，结合中垂线的性质得PM=MN，由勾股定理得PM2=PD2+DM2，MN2=CM2+CN2，进而即可得到结论．

（1）连接，如图③，

∵四边形为矩形，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∵AB=CD，

∴；

（2）BN2+DM2=CM2+CN2，理由如下：

如图②，延长NO交AD于点P，连接PM，MN，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OD=OB，AD∥BC，

∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，

在△BON和△DOP中，

∵，

∴△BON≌△DOP(AAS)，

∴ON=OP，BN=PD，

∵∠MON=90°，即：OM是线段PN的中垂线，

∴PM=MN，

∵∠PDM=∠NCM=90°，

∴PM2=PD2+DM2，MN2=CM2+CN2，

∴PD2+DM2=CM2+CN2，

∴BN2+DM2=CM2+CN2．