Question

8．如图所示：AH是△ABC的边上的高，M为AH上一点，且AM：MH=1：2，过M引DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若BC=16cm、AH=9cm．
（1）求△ADE的面积；
（2）AM：MH为何值时，S_△ADE：S_{平行四边形BDEC}=1：1？

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，AH是△ABC的边上的高，得到AM⊥DE，由于AM：MH=1：2，推出AM：AH=1：3，通过△ADE∽△ABC，得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AM}{AH}$=$\frac{1}{3}$，于是得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，即可得到结果；
（2）由S_△ADE：S_{平行四边形BDEC}=1：1，得到S_△ADE：S_△ABC=1：2，根据相似三角形的性质得到AM：AH=$\sqrt{2}$：2，即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE∥BC，AH是△ABC的边上的高，
∴AM⊥DE，
∵AM：MH=1：2，
∴AM：AH=1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AM}{AH}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}×16×9$=72，
∴△ADE的面积=8；

（2）∵S_△ADE：S_{平行四边形BDEC}=1：1，
∴S_△ADE：S_△ABC=1：2，
由（1）证得△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=（$\frac{AM}{AH}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴AM：AH=$\sqrt{2}$：2，
∴AM：MH=$\sqrt{2}$：（2-$\sqrt{2}$）．
∴当AM：MH=$\sqrt{2}$：（2-$\sqrt{2}$）时，S_△ADE：S_{四边形BDEC}=1：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．