Question

【题目】已知抛物线y=-(x-m)2+1与x轴的交点为A，B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.

（1）写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论；

（2）当点B在原点的右边，点C在原点下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m=2.

【解析】试题分析：（1）将m=1代入y=-（x-m）2+1化简可得抛物线的解析式为y=-x2+2x；

（2）存在．令y=0时得出（x-m）2=1得出A，B的坐标．令x=0时得出点C在原点下方得出OC=m2-1，求出m的实际值.

试题解析：（1）当m=1时，抛物线的解析式为y=x2+2x.正确的结论有：

①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为x=1；④函数有最大值1；⑤当x＜1时；y随 x的增大而增大；⑥当x＞1时；y随x的增大而减小等（任选3个即可）；

（2）存在。

当y=0时，(xm)2+1=0，即有(xm)2=1.

∴x1=m1，x2=m+1.

∵点B在点A的右边，

∴A(m1，0)，B(m+1，0)，

∵点B在原点右边，

∴OB=m+1

∵当x=0时，y=1m2，点C在原点下方，

∴OC=m21.

当m21=m+1时，m2m2=0，

∴m=2或m=1(因为对称轴在y轴的右侧，m>0，所以不合要求，舍去)，

∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m=2.