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【题目】如图,D为直角ABC中斜边AC上一点,且ABAD,以AB为直径的⊙OAD于点F,交BD于点E,连接BFBF

1)求证:BEFE

2)求证:∠AFE=∠BDC

3)已知:sinBAEAB6,求BC的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3BC12

【解析】

1)连接AE,由AB是直径知AEBD,结合AB=AD知∠BAE=DAE,依据∠EBF=DAE,∠BFE=BAE可得∠EBF=BFE,据此即可得证;

2)由AB=AD知∠ABD=2,结合∠1=ABD知∠1=2,根据∠1+AFE=2+BDC=180°即可得出∠AFE=BDC

3)作DGBC,由sinBAE=AB=AD=6DE=BE=2BD=4,再证∠DBG=BAEDG=BDsinDBG=4BG=4,证CDG∽△CAB=,据此计算可得答案.

1)如图,连接AE

AB是圆的直径,

∴∠AEB90°,即AEBD

ABAD

∴∠BAE=∠DAE

∵∠EBF=∠DAE,∠BFE=∠BAE

∴∠EBF=∠BFE

BEEF

2)∵ABAD

∴∠ABD=∠2

∵∠1=∠ABD

∴∠1=∠2

又∵∠1+AFE=∠2+BDC180°,

∴∠AFE=∠BDC

3)如图,过点DDGBC于点G

sinBAEABAD6

DEBE2

BD4

又∵∠DBG+ABD=∠BAE+ABD90°,

∴∠DBG=∠BAE

DGBDsinDBG4×4

BG4

DGAB

∴△CDG∽△CAB

,即

解得:BC12

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1k的值;

3求点A的坐标.

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