【题目】如图,D为直角△ABC中斜边AC上一点,且AB=AD,以AB为直径的⊙O交AD于点F,交BD于点E,连接BF,BF.
(1)求证:BE=FE;
(2)求证:∠AFE=∠BDC;
(3)已知:sin∠BAE=,AB=6,求BC的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)BC=12.
【解析】
(1)连接AE,由AB是直径知AE⊥BD,结合AB=AD知∠BAE=∠DAE,依据∠EBF=∠DAE,∠BFE=∠BAE可得∠EBF=∠BFE,据此即可得证;
(2)由AB=AD知∠ABD=∠2,结合∠1=∠ABD知∠1=∠2,根据∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°即可得出∠AFE=∠BDC;
(3)作DG⊥BC,由sin∠BAE=,AB=AD=6知DE=BE=2,BD=4,再证∠DBG=∠BAE得DG=BDsin∠DBG=4,BG=4,证△CDG∽△CAB得=,据此计算可得答案.
(1)如图,连接AE,
∵AB是圆的直径,
∴∠AEB=90°,即AE⊥BD,
∵AB=AD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵∠EBF=∠DAE,∠BFE=∠BAE,
∴∠EBF=∠BFE,
∴BE=EF;
(2)∵AB=AD,
∴∠ABD=∠2,
∵∠1=∠ABD,
∴∠1=∠2,
又∵∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°,
∴∠AFE=∠BDC;
(3)如图,过点D作DG⊥BC于点G,
∵sin∠BAE=,AB=AD=6,
∴DE=BE=2,
∴BD=4,
又∵∠DBG+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°,
∴∠DBG=∠BAE,
∴DG=BDsin∠DBG=4×=4,
∴BG=4,
∵DG∥AB,
∴△CDG∽△CAB,
∴=,即=,
解得:BC=12.
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【题目】一商家按标价销售工艺品时,每件可获利元,按标价的八五新销售工艺品件与将标价降低元销售这种工艺品件所获利润相等.
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少?
(2)若每件工艺品按此进价进货,标价销售,商家每天可卖出工艺品件,若每件工艺品降价元,则每天可多卖出该工艺品件,间每件降价多少元销售,每天获得利润最大?获得最大利润是多少元?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;
(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】周末,小李从家里出发骑车到少年宫学习绘画,学完后立即回家,他离家的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示,有下列结论:①他家离少年宫30km;②他在少年宫一共停留了3h;③他返回家时,离家的距离y(km)与时间x(h)之间的函数表达式是y=-20x+110;④当他离家的距离y=10时,时间x=.其中正确的是________(填序号).
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【题目】电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱,小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”,于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查(每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”),将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统计图,请结合图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次被调查的学生有多少人.
(2)将两幅统计图补充完整.
(3)若小刚所在学校有2000名学生,请根据图中信息,估计全校喜欢“Angelababy”的人数.
(4)若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体活动,则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是________.
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【题目】只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17.
(1)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个,则抽到的数是7的概率是 ;
(2)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数,再从余下的3个数中随机抽取1个数,用画树状图或列表的方法,求抽到的两个素数之和等于30的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,对角线为1的正方形OABC,点A在x轴的正半轴上,如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1,再以对角线OB1为边作第三个正方形OBlB2C2,照此规律作下去,则点B2019的坐标为( )
A.(﹣21009,21009)B.(21008,﹣21008)
C.(﹣21009,0)D.(0,21008)
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【题目】如图,点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,连接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,⊙O是△DEF的外接圆,连接DP.
(1)求证:DP是⊙O的切线;
(2)若tan∠PDC=,正方形ABCD的边长为4,求⊙O的半径和线段OP的长.
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【题目】如图,点B(3,3)在双曲线 (x>0)上,点D在双曲线 (x<0)上,点A和点C分别在x轴,y轴的正半轴上,且点A,B,C,D构成的四边形为正方形.
(1)求k的值;
(3)求点A的坐标.
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