Question

【题目】如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD平行．

（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？

①BD平分AN，　 　；

②BD⊥AP，　 　（填写“成立”或“不成立”）；

（2）证明（1）中你的判断．

（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，请直接写出CE的长度．

Answer 1

【答案】（1）①成立；②成立；（2）见解析；（3） ．

【解析】

（1）根据题意、结合图形进行猜测；

（2）连接AC、PC、CN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三点共线，根据菱形的性质证明即可；

（3）根据菱形的性质和余弦的定义求出BH，得到HM，根据三角形中位线定理求出CN，根据余弦的定义求出PN，根据直角三角形的性质解答即可．

（1）①BD平分AN，成立；

②BD⊥AP，成立．

故答案为：①成立；②成立；

（2）连接AC、PC、CN．

∵EP=EC，∴∠ECP=∠EPC，∴∠ECP==90°﹣∠PEC，同理，∠DCA=90°﹣∠ADC．

∵PN∥AD，∴∠PEC=∠ADC，∴∠ECP=∠DCA，∴A、P、C三点共线．

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．

∵CE=PE=EN，∴∠PCN=90°，∴CN∥BD，又AH=HC，∴AM=MN，即BD平分AN；

（3）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴BH=AB×cos30°=，∴HM=BM﹣BH=+1﹣=．

∵∠ABC=60°，∴∠BAD=120°．

∵∠ABH=30°，∠AHB=90°，∴∠BAH=60°，∴∠DAC=120°－60°=60°．

∵AD∥PN，∴∠NPC=∠DAC=60°．

∵AH=HC，AM=MN，∴CN=2HM=﹣1，CN∥BD，∴∠PCN=∠BHC=90°，∴∠PNC=90°－60°=30°，∴PN==，∴CE=PN=．