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【题目】如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=y=(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BDy轴,且BDAC于点P.已知点B的横坐标为4.

(1)当m=4,n=20时.

①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.

②若点PBD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.

(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.

【答案】(1)①直线AB的解析式为y=﹣x+3;理由见解析②四边形ABCD是菱形,(2)四边形ABCD能是正方形,理由见解析.

【解析】(1)①先确定出点A,B坐标,再利用待定系数法即可得出结论;

②先确定出点D坐标,进而确定出点P坐标,进而求出PA,PC,即可得出结论;

(2)先确定出B(4,),进而得出A(4-t,+t),即:(4-t)(+t)=m,即可得出点D(4,8-),即可得出结论.

1)①如图1,

m=4,

∴反比例函数为y=,当x=4时,y=1,

B(4,1),

y=2时,

2=

x=2,

A(2,2),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

∴直线AB的解析式为y=-x+3;

②四边形ABCD是菱形,

理由如下:如图2,

由①知,B(4,1),

BDy轴,

D(4,5),

∵点P是线段BD的中点,

P(4,3),

y=3时,由y=得,x=

y=得,x=

PA=4-=,PC=-4=

PA=PC,

PB=PD,

∴四边形ABCD为平行四边形,

BDAC,

∴四边形ABCD是菱形;

(2)四边形ABCD能是正方形,

理由:当四边形ABCD是正方形,

PA=PB=PC=PD,(设为t,t≠0),

x=4时,y==

B(4,),

A(4-t,+t),

(4-t)(+t)=m,

t=4-

∴点D的纵坐标为+2t=+2(4-)=8-

D(4,8-),

4(8-)=n,

m+n=32.

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