Question

10．在如图所示的直角坐标系中，O为原点，直线y=-$\frac{1}{2}$x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，设直线OP与线段AB相交于P点，且$\frac{{S}_{△AOP}}{{S}_{△BOP}}$=$\frac{1}{3}$，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 根据一次函数解析式求出OA、OB，然后求出$\frac{AP}{AB}$，过点P作PC⊥OA于C，得到PC∥BO，求出△PCA与△BOA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PC、AC，再求出OC，然后写出点P的坐标即可．

解答 解：令x=0得，y=8，则B的坐标为（0，8），即BO=8，
令y=0得，-$\frac{1}{2}$x+8=0，解得x=16，
则A的坐标为（16，0），即OA=16，
又∵$\frac{{S}_{△AOP}}{{S}_{△BOP}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
过点P作PC⊥OA于点C，则PC∥BO，
∴△PCA∽△BOA，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{PC}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴PC=2，AC=4，
∴OC=OA-AC=12，
∴P的坐标为（12，2）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，难点在于根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出$\frac{AP}{BP}$，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．