Question

18．如图，点A在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，且∠AOB=90°，tan∠OAB=$\frac{4}{3}$，则k的值是-$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，点B在反比例函数y=-$\frac{k}{x}$的图象上，即可得S_△OBD=$\frac{|k|}{2}$，S_△AOC=2，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{3}$，进而求出k的值．

解答 解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴$\frac{{S}_{△OBD}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{OB}{OA}$）²，
∵点A在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴S_△OBD=$\frac{|k|}{2}$，S_△AOC=2，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{|k|}}{2}$，
∵tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{3}$，
∴k=-$\frac{64}{9}$．
故答案为-$\frac{64}{9}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．