Question

11．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有A，B，D，F （填字母）     
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；      
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
C．三角形OAB的面积是⊙O面积的六分之一；   
D.$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；
E．∠BAC=30°；                          
F．弦AB所对的圆周角度数为30°．

Answer 1

分析 利用OA=AB，可得△OAB是等边三角形，易判断A，F，C选项，由OC⊥AB，利用垂径定理得$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，可判断B，D选项，利用选项B的结论可得∠BAC的度数，易判断E．

解答 解：∵OA=AB，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，
∴弦AB所对的圆周角度数为30°，弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，扇形AOB的面积是圆的面积$\frac{1}{6}$，故A，F选项正确，C选项错误；
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，故D选项正确；
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B选项正确；
∵∠ACB是圆内接正十二边形的内角，
∴∠ACB=$\frac{（12-2）×180°}{12}$=150°，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
在△AOC中，
∵∠AOC=30°，∠OAB=60°，∠ACO=75°，
∴∠BAC=180°-∠ACO-∠AOC-∠OAC=180°-75°-30°-60°=15°，
故E选项错误；
故答案为：A，B，D，F．

点评 本题考查的是正多边形和圆及垂径定理，熟知圆的内接正六边形、正三角形、正十二边形的性质及垂径定理是解答此题的关键．