Question

．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；

（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

　

Answer 1

【考点】切线的判定与性质；勾股定理．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；

（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，

∴∠BAP=90°．

在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，

∴BP=2AB=2×2=4．

由勾股定理，得．  

（2）如图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴．

∴∠4=∠3．

又∵OC=OA，

∴∠1=∠2．

∵∠2+∠4=∠PAB=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．

即OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

【点评】此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，难度适中．