Question

10．已知一个圆内接正十二边形的面积为2，求这个圆的内接正六边形的面积．

Answer 1

分析 设AB是正六边形的边，AC是正十二边形的边，则AB⊥OC，设圆的半径是r，根据△OAC的面积是正十二边形面积的$\frac{1}{12}$，即可列方程求得半径r的值，然后根据△OAB是等边三角形，求得△OAB的面积，进而求得正六边形的面积．

解答 解：设AB是正六边形的边，AC是正十二边形的边，则AB⊥OC．
∵∠AOC=$\frac{360°}{12}$=30°，
∴设圆的半径是r，S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•OA•sin30°=$\frac{1}{4}$r²=$\frac{2}{12}$，
∴r²=$\frac{2}{3}$．
∴S_△OAB=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$r²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则正六边形的面积是：6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．