Question

15．（1）猜想与证明：
如图（1），摆放着两个矩形纸片ABCD和矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展与延伸：
如图（2），若将”猜想与证明“中的矩形纸片换成正方形纸片ABCD和正方形纸片ECGF，并使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）延长EM交AD于点H，由四边形ABCD和CEFG是矩形，根据矩形的性质得到对边平行，得到内错角相等，通过证明三角形全等，得到HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，得到DM=HM=ME，证出结果DM=ME；
（2）连接AC，由四边形ABCD和ECGF是正方形，得到∠FCE=45°，∠FCA=45°，证得AE和EC在同一条直线上，再由直角三角形的性质推出结论．

解答 解：（1）猜想：DM=ME；           
证明：如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EFM=∠HAM\\ FM=AM\\∠FME=∠AMH\end{array}\right.$，
∴△FME≌△AMH（ASA），
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．   

（2）猜想：DM=ME；
 如图2，连接AC，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是本题的关键．