Question

【题目】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．

(1)求证：△ABC是半直角三角形；

(2)求证：∠DEC=∠DEA；

(3)若点D的坐标为(0，8)，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根据定义得：△ABC是半直角三角形；
（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，
则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；
（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半径为5，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；

（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，

∴∠ADE=45°，

∵∠ABE=∠ADE=45°，

∴△ABC是半直角三角形

（2）∵OM⊥AB，OA=OB，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵∠DEB=∠DAB，

∴∠DBA=∠DEB，

∵D、B、A、E四点共圆，

∴∠DBA+∠DEA=180°，

∵∠DEB+∠DEC=180°，

∴∠DEA=∠DEC

（3）如图1，连接AM，ME，

设⊙M的半径为r，

∵点D的坐标为（0，8），

∴OM=8﹣r，

由OM2+OA2=MA2得：（8﹣r）2+42=r2，

解得r=5，

∴⊙M 的半径为5

∵∠ABE=45°

∴∠EMA=2∠ABE=90°，

∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，

∴.