Question

    (为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形)

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC = AB = 4，D，E分别是边AB，AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtRt△AD₁E₁，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD₁与CE₁的交点为P.

(1)如图1，当α=90°时，线段BD₁的长等于   ，线段CE₁的长等于   ；（直接填写结果）

(2)如图2，当α=135°时，求证：BD₁ = CE₁ ，且BD₁ ⊥ CE₁ ；

(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）

 

Answer 1

解：（1）BD₁ = 2，CE₁ = 2       ……2分

        （2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D₁AB = E₁AC = 135°     ……3分

                    又AB=AC，AD₁=AE₁，∴△D₁AB ≌ △E₁AC             ……4分

                    ∴BD₁=CE₁ 且 ∠D₁BA = E₁CA                        ……5分

                    设直线BD₁与AC交于点F，有∠BFA=∠CFP            ……6分

                    ∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD₁⊥CE₁                   ……7分

            （3）1 +                                             ……11分

（四边形AD₁PE₁为正方形时，距离最大，此时PD₁=2，PB=2+2）