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【题目】如图,已知点A(4,0),B(0,),把一个直角三角尺DEF放在△OAB内,使其斜边FD在线段AB上,三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中∠EFD=30°,ED=2,点G为边FD的中点.

(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1,当点D与点A重合时,求经过点G的反比例函数(k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑动的过程中,经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?如果能,求出此时反比例函数的解析式;如果不能,说明理由.

【答案】
(1)

解:设直线AB的解析式为y=kx+b,

∵A(4,0),B(0,),

解得:

∴直线AB的解析式为:


(2)

解:

∵在Rt△DEF中,∠EFD=30°,ED=2,

∴EF=,DF=4,

∵点D与点A重合,

∴D(4,0),

∴F(2,),

∴G(3,),

∵反比例函数经过点G,

∴k=

∴反比例函数的解析式为:


(3)

解:

经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F;理由如下:

∵点F在直线AB上,

∴设F(t,),

又∵ED=2,

∴D(t+2,),

∵点G为边FD的中点.

∴G(t+1,),

若过点G的反比例函数的图象也经过点F,

设解析式为

整理得:()(t+1)=()t,

解得:t=

∴m=

∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F,这个反比例函数解析式为:.


【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A、B的坐标代入,组成方程组,解方程组求出k、b的值即可;
(2)由Rt△DEF中,求出EF、DF,在求出点D坐标,得出点F、G坐标,把点G坐标代入反比例函数求出k即可;
(3)设F(t,﹣t+4),得出D、G坐标,设过点G和F的反比例函数解析式为y=,用待定系数法求出t、m,即可得出反比例函数解析式.

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