Question

【题目】如图1,中, ,直线点是上的动点，过三点的圆交直线于点,连结．

当点与点重合时如图2所示，连，求证:四边形是矩形．

如图3，当与过三点的圆相切时，求的长．

作点关于直线的对称点，试判断能否落在直线上，若能请直接写出的长，若不能说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析;（2）;（3）能,;

【解析】

（1）利用圆的内接四边形对角互补得，再用已知，，可证出，即证出四边形是矩形；

（2）连结，证明，根据相似的性质得，可求出的长，进而可求出的长；

（3）若在上，则,由于，，可知是直径，所以应在以为直径的圆上，与重合， 可设，则，解这个方程即可求得的长．

共圆，

，

又

∴

四边形是矩形

连结， 则

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∴

若在上，

则,

又，

是直径应在以为直径的圆上，

与重合，

设，