Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把x=0代入得：y=﹣4．

∴C（0，﹣4）．

设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：﹣16a=﹣4，解得：a= ．

∴抛物线的解析式为y= （x+2）（x﹣8）即y= x2﹣ x﹣4．

（2）解：由菱形的对称性可知：点D的坐标为（0，4）．

设直线BD的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：8k+4=0，解得：k=﹣ ．

∴直线BD的解析式为y=﹣ x+4．

∵l⊥x轴，

∴点M、Q的坐标分别是（m，﹣ m+4），（m， m2﹣ m﹣4）．

当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．

∴（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=8，化简得：m2﹣4m=0，解得m=4或m=0（舍去）．

此时，四边形CQBM是平行四边形．

∵四边形CQBM为平行四边形，

∴MD∥CQ，MD=CQ．

∵m=4时，M的坐标为（4，2），

∴M为BD的中点，

∴MD=MB．

∴CQ=MB，

又∵MB∥CQ，

∴四边形CQBM为平行四边形．

（3）解：设QB的解析式为y=k1x+b1，将点B和点Q的坐标代入得： ，

解得：k1= = （m+2）．

设QD的解析式为y=k2x+4，将点Q的坐标代入得mk2+4= m2﹣ m﹣4，

解得：k2= ．

当∠QBD=90°时，﹣ × （m+2）=﹣1，解得：m=6．

∴Q（6，﹣4）．

当∠QDB=90°时，﹣ × =﹣1，整理得：m2﹣14m﹣32=0，解得m=﹣2或m=16（舍去）．

∴Q（﹣2，0）．

以M为圆心以MB为半径作⊙M，⊙M与抛物线没有公共点，

∴∠DQB≠90°．

综上所述，点Q的坐标为（6，﹣4）或（﹣2，0）．

【解析】（1）利用待定系数法，把A、B两点坐标代入解析式，求出a、b即可；（2）要使四边形CQMD是平行四边形，须MQ=DC=8，即（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=8，构建方程，可求出m;（3）若△BDQ为直角三角形，须分类讨论：∠QBD=90或°∠QDB=90°，利用两直线的斜率积为-1构建关于m的方程，求出m,当以M为圆心以MB为半径作⊙M，⊙M与抛物线没有公共点，因此∠DQB≠90°.