Question

【题目】（1）问题背景：已知：如图①-1，，点的位置如图所示，连结，试探究与、之间有什么数量关系，并说明理由．(将下面的解答过程补充完整，括号内写上相应理由或数学式)

解：（1）与、之间的数量关系是：(或只要关系式形式正确即可)

理由：如图①-2，过点作．

∵(作图)，

∴(　　)，

∴(已知)

(作图)，

∴_______(　　)，

∴_______(　　)，

∴(等量代换)

又∵(角的和差)，

∴(等量代换)

总结反思：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决．

（2）类比探究：如图②，，点的位置如图所示，连结、，请同学们类比（1）的解答过程，试探究与、之间有什么数量关系，并说明理由．

（3）拓展延伸：如图③，，与的平分线相交于点，若，求的度数，请直接写出结果，不说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由见解析；两直线平行，同旁内角互补；CD，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；180°，两直线平行，同旁内角互补；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD，理由见解析；（3）∠P=56°．

【解析】

（1）如图②，过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得到与、之间的数量关系；
（2）过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得出∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD，进而得到∠APC=∠APE+∠CPE，即可得到∠APC=∠PAB+∠PCD；

（3）根据角平分线的性质及平行线的性质求解即可．

（1）∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°

(或∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)只要关系式形式正确即可)

理由：如图①-2，过点P作PE∥AB．

∵PE∥AB(作图)，

∴∠PAB+∠APE=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∵AB∥CD(已知)

PE∥AB(作图)，

∴PE∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，

∴∠CPE+∠PCD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，

∴∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD=180°+180°=360°(等量代换)

又∵∠APE+∠CPE=∠APC(角的和差)，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°(等量代换)

（2）∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是：∠APC=∠PAB+∠PCD

理由：过点P作PE∥AB，

∴∠PAB=∠APE(两直线平行，内错角相等)

∵AB∥CD(已知)

PE∥AB(作图)，

∴PE∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，

∴∠PCD=∠CPE(两直线平行，内错角相等)

∵∠APE+∠CPE=∠APC(角的和差)，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD(等量代换)

（3）∠P=56°．

理由：如图③，∵与的平分线相交于点，
∴∠PBA=2∠BA， ∠PDC=2∠DC，

∴∠PBA+ ∠PDC=2(∠BA+DC)

由(2)可得: ∠P=∠PBA+∠PDC, ∠=∠AB+∠CD
∴∠P=2(∠BA+DC)=2∠=2×28°=56°