Question

在△ABC中，D、E为AB、AC中点，DE与∠B的平分线交于F，如图所示．
求证：AF⊥BF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：首先根据三角形中位线定理可得DE∥BC，然后再证明AD=DB=DF，再根据等边对等角可得∠DAF=∠DFA，再根据三角形内角和定理可证出∠AFD+∠BFD=90°，进而可得答案．

解答：证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠ABF，
∵D、E为AB、AC中点，
∴DE∥BC，AD=DB，
∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴DF=DB，
∴DF=AD，
∴∠DAF=∠DFA，
∵∠DAF+∠DFA+∠DBF+∠DFB=180°，
∴∠AFD+∠BFD=90°，
∴AF⊥BF．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等边对等角，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．