Question

【题目】如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A（-1，0），点C（0，2）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）线段BC上有一动点P，过点P作轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）若点E在轴上，点F在抛物线上．是否存在以C、D、E、F为顶点且以CD为一边的平行四边形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当a=2时，PQ有最大值2；(3) 存在3个点符合题意，坐标分别是F1（）、F2（）、F3（3，2）．

【解析】分析：（1）将点A、C坐标代入求出函数解析式；

（2）先求出直线AB的函数解析式，然后设点P坐标为（a，b），并求出对应的点Q的坐标，然后求出线段PQ的最大值；

（3）本题应分情况讨论：

①将CD平移，令C点落在x轴（即E点）、D点落在抛物线（即F点）上，可根据平行四边形的性质，得出F点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标；

②过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合F点的要求，此时F、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出F点坐标．

详解：（1）∵抛物线过点A（-1，0），C（0，2），

∴.解得.

∴函数解析式为：.

（2）由（1）得，，

令

解得x=-1或x=4.∴A（-1,0）、B（4,0）.

设直线BC解析式为y=kx+b，它过点B（4,0）、C（0，2），

则有，解得.

∴直线BC解析式为.

设点P横坐标为a，则点P纵坐标为.

∵PQ∥y轴，

∴点Q的横坐标为a，纵坐标为.

∴PQ=-（）

==

∵，∴其图象开口向下，有最大值.

∴当a=2时，PQ有最大值2.

（3）如图所示.

①平移直线CD交x轴于点E，交x轴下方的抛物线于点F.

当CD=E1F1时，四边形CDEF为平行四边形.

∵C（0，2），∴设F（x，-2），

代入解析式得：.

解得.

此时存在点F1（）、F2（）

②过点C作CF3∥x轴交抛物线于点F3，过点F3作F3E3∥CD交x

轴于点E3，此时四边形CDE3F3为平行四边形.

此时F3纵坐标为2，将纵坐标代入函数解析式得

.

解得：x=0或x=3.

此时存在点F3（3，2）．

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是F1（）、F2（）、F3（3，2）．