Question

如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD⊥BE，则a：b：c=

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的重心

专题：

分析：设BE和CD相交于O，根据三角形的重心得出OC=

2

3

CD=

2

3

×

1

2

c=

1

3

c，OB=

2

3

BE=

2

3

a2+( 1 2 b)2

，然后根据勾股定理得出OC²+OB²=BC²，AC²+BC²=AB²，即
c²+b²=5a²，a²+b²=c²，解得c=

3

a，b=

2

a，即可求得a：b：c的值．

解答：解：设BE和CD相交于O，则∠BOC=90°，
∵CD和BE是△ABC的两条中线，
∴CD=AD=DB=

1

2

AB=

1

2

c，BE=

a2+( 1 2 b)2

，
∵O是三角形的重心，
∴OC=

2

3

CD=

2

3

×

1

2

c=

1

3

c，OB=

2

3

BE=

2

3

a2+( 1 2 b)2

，
∵OC²+OB²=BC²，
∴（

1

3

c）²+（

2

3

a2+( 1 2 b)2

）²=a²，
整理得：c²+b²=5a²，
又a²+b²=c²，
解得：c=

3

a，b=

2

a，
∴a：b：c=1：

2

：

3

．
故答案为1：

2

：

3

．

点评：本题考查了三角形的重心的性质，勾股定理的应用，勾股定理的应用是本题的关键．