Question

11．已知，在△ABC中，CA=CB=10cm，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠EOF=2∠A．
（1）若∠A=45°．
①如图（1），连接OC，当E、F分别在线段AC、BC上时，求证：△COE≌△BOF；
②如图（2），当E、F分别在AC延长线上和CB延长线上时，求CF-CE的值；
（2）如图（3），若∠A=30°，且E、F分别在AC延长线上和线段BC上，试说明CF与CE满足怎样的关系式．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

Answer 1

分析 （1）要证明△COE≌△BOF只要证明：CO=BO，∠EOC=∠FOB，∠ECO=∠B=45°即可．
（2）因为CF=CB+BF，所以要求CF-CE，只要证明CE=BF就可以了；
（3）利用四点共圆得到：△OEF是等边三角形，接下来只要证明CF-CE=CA，再利用直角三角形30度角的性质解决．

解答 （1）证明：连接CO．
∵CA=CB，∠A=45°
∴∠A=∠B=45°，∠ACB=90°，
∵AO=OB，
∴OC=OA=OB，∠ACO=∠BCO=45°，CO⊥AB，
∵∠EOF=2∠A=90°，∠COB=90°，
∴∠EOF=∠COB，
∴∠EOC=∠BOF，
在△EOC和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠B}\\{CO=OB}\\{∠EOC=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB．
（2）如图2中，连接CO，∵∠ACO=∠ABC=45°，
∴∠ECO=∠OBF=135°，
∵∠COB=∠EOF=90°，
∴∠COE=∠BOF，
在△EOC和△FOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠B}\\{CO=OB}\\{∠EOC=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB．
∴EC=BF，
∴CF-EC=BC+BF-EC=BC=10cm．
（3）在CF上截取CM=CO，连接OM．
∵CA=CB，∠A=30°，
∴∠A=∠B=30°，∠ACB=120°，
∵AO=OB，
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴∠ECB=180°-∠ACB=60°，
∵∠EOF=2∠A=60°，
∴∠ECF=∠EOF，
∴E、C、O、F四点共圆，
∴∠OEF=∠OCB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=OF，
∵OC=CM，∠OCM=60°，
∴△COM是等边三角形，
∴∠COM=60°=∠EOF，OC=OM=CM，
∴∠COE=∠MOF，
在△COE和△MOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=OM}\\{∠COE=∠MOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△MOF，
∴CE=MF，
∴CF-CE=CM+MF-CE=CM=CO，
在RT△ACO中．∵AC=10，∠A=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴CF-CE=5．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、以及四点共圆等知识，第三个问题中，利用四点共圆是解决问题的关键．