Question

已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，2）与两坐标轴所围成的三角形的面积为

3

2

，且y随着x的增大而增大，另一条直线y=-2x-8与一次函数y=kx+b的图象相交于点A，一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为B．在坐标轴上是否存在点P，使得A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形？若有，请求出点P的坐标，没有请说明理由．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：根据已知求得A、B、C的坐标，即可求得AB的长以及AB的中点坐标，中点坐标为一次函数y=kx+b的图象交x轴的交点C，根据C的坐标求得AB的垂直平分线的解析式，即可求得与y轴的交点，即AB为等腰三角形的底时P的坐标，然后当AB为腰时，以B为圆心以AB=5长为半径作圆，根据AB的长即可求得与坐标轴的交点坐标，即P的坐标．

解答：解：存在；
∵一次函数y=kx+b的图象经过点（0，2），
∴b=2，
∵一次函数y=kx+b的图象两坐标轴所围成的三角形的面积为

3

2

，且y随着x的增大而增大，
∴直线y=kx+b交x轴为C（-

3

2

，0），
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=

4

3

x+2；
∵直线y=-2x-8与一次函数y=

4

3

x+2的图象相交于点A，
∴

y=-2x-8 y= 4 3 x+2

，解得

x=-3 y=-2

，
∴A的坐标为（-3，-2），
∵B（0，2），
∴AB的中点为（-

3

2

，0），AB=

32+42

=5，
∴线段AB的垂直平分线经过C（-

3

2

，0），
设线段AB的垂直平分线的解析式为y=-

3

4

x+n，
∴0=-

3

4

×（-

3

2

）+n，解得：n=-

9

8

，
∴当AB为底时，P₁的坐标为（0，-

9

8

）；
当AB为腰时，以B为圆心以AB=5长为半径作圆交坐标轴分别为：P₂（

21

，0），P₃（0，7），P₄（-

21

，0），P₅（0，-3）；
综上可知存在点P，使得以P，A，B为顶点的三角形为等腰三角形，P点的坐标为（0，-

9

8

）、（

21

，0），、（0，7）、（-

21

，0）、（0，-3）．

点评：本题考查了两直线平行或相交的问题，知识点有：两直线的交点的求法，直线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等．