Question

16．阅读下列材料：x$+\frac{1}{x}$=c$+\frac{1}{c}$的解是x₁=c，x₂=$\frac{1}{c}$；
x-$\frac{1}{x}$=c-$\frac{1}{c}$（即x$+\frac{-1}{x}$=c$+\frac{-1}{c}$的解是x₁=c，x₂=-$\frac{1}{c}$；
x$+\frac{2}{x}$=c$+\frac{2}{c}$的解是x₁=c，x₂=$\frac{2}{c}$；
x$+\frac{3}{x}$=c$+\frac{3}{c}$的解是x₁=c，x₂=$\frac{3}{c}$；
…
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x$+\frac{m}{x}$=c$+\frac{m}{c}$（m≠0）的解，并验证你的结论．
（2）利用这个结论解关于x的方程：x$+\frac{2}{x-1}$=a$+\frac{2}{a-1}$．

Answer 1

分析 观察所给式子，可看出：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可直接解得．利用这个结论，可解题．
（1）根据阅读材料得到x₁=c，x₂=$\frac{m}{c}$．然后将其代入已知方程进行验证即可；
（2）将x+$\frac{2}{x-1}$变形为（x-1）+$\frac{2}{x-1}$=（a-1）+$\frac{2}{a-1}$，求得x-1的值后再来求x的值即可．

解答 解：（1）猜想方程x$+\frac{m}{x}$=c$+\frac{m}{c}$（m≠0）的解是x₁=c，x₂=$\frac{m}{c}$．
验证：当x=c时，方程x+$\frac{m}{x}$=c+$\frac{m}{c}$成立，当x=$\frac{m}{c}$时，方程x+$\frac{m}{x}$=c+$\frac{m}{c}$成立；

（2）x+$\frac{2}{x-1}$变形为（x-1）+$\frac{2}{x-1}$=（a-1）+$\frac{2}{a-1}$，
x-1=a-1或x-1=$\frac{2}{a-1}$，
∴x=a或x=$\frac{a+1}{a-1}$．

点评 本题考查了解分式方程，需要学生具备观察、比较，猜想、逻辑分析能力．