Question

16．一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量y（件）与每件饰品的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）当饰品店每周销售这种饰品获得150元的利润时，每件饰品的销售单价是多少元？
（3）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为w元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）根据题意列出方程求出即可．
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）设y=kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{22k+b=36}\\{24k+b=32}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=80}\end{array}\right.$，
则y=-2x+80；               
                               
（2）设当饰品店每周销售这种饰品获得150元的利润时，每件饰品的销售单价是x元，
根据题意得：（x-20）y=150，则（x-20）（-2x+80）=150，
整理得：x²-60x+875=0，（x-25）（x-35）=0，
解得：x₁=25，x₂=35（不合题意舍去），
答：每件饰品的销售单价是25元；                              

（3）由题意可得：w=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，…（8分）
此时当x=30时，w最大，但又∵x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当售价不低于22元且不高于28元时，
有x=28，w_最大=-2（28-30）²+200=192（元），…（9分）
答：该饰品销售单价定为28元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是192元．

点评 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．