Question

8．如图，⊙O与△ABC各边分别切于点D，E，F，
（1）若∠C=60°，∠EOF=100°，求∠B的度数．
（2）若AB=10cm，AC=8cm，BC=7cm，△ABC的面积是50cm²，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得OF⊥AB，OE⊥AC，则利用四边形内角和得∠A+∠EOF=180°，所以∠A=80°，然后根据三角形内角和求∠B的度数；
（2）连接OD，OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为r，则OD=OE=OF=r，利用切线的性质得OD⊥BC，然后根据三角形面积公式，利用S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC得到$\frac{1}{2}$•10•r+$\frac{1}{2}$•7•r+$\frac{1}{2}$•8•r=50，然后解关于r的方程即可．

解答 解：（1）∵AB、AC与⊙O相切于点F、E，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A+∠EOF=180°，
∴∠A=180°-100°=80°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-60°-80°=40°；
（2）连接OD，OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为r，则OD=OE=OF=r，
∵BC与⊙O相切于D，
∴OD⊥BC，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC，
∴$\frac{1}{2}$•10•r+$\frac{1}{2}$•7•r+$\frac{1}{2}$•8•r=50，解得r=4，
即⊙O的半径为4cm．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了三角形面积公式．