Question

13．已知：如图，在梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，AD=m，BC=n，点E在CD上，且∠AEB=90°，AE=BE．
（1）求梯形ABCD的面积（用含m、n的代数式表示）．
（2）△ABE的面积$\frac{1}{2}$（m²+n²）．（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）先证明△BCE≌△EDA，推出BC=ED=n，AD=CE=m，CD=m+n，由此即可计算．
（2）构建勾股定理求出BE即可解决问题．

解答 解：（1）∵∠C=∠D=∠BEA=90°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，∠CEB+∠AED=90°，
∴∠CBE=∠AED，
在△BCE和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠D}\\{∠CBE=∠AED}\\{BE=AE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△EDA，
∴BC=ED=n，AD=CE=m，CD=m+n，
∴梯形ADCB的面积=$\frac{1}{2}$（m+n）²，

（2）由（1）可知，BE=AE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AE=$\frac{1}{2}$（m²+n²），
故答案为$\frac{1}{2}$（m²+n²）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，梯形的面积公式，解题的关键是灵活意义这些知识解决问题，属于基础题中考常考题型．