Question

9．在正方形ABCD中，AB=6，点E在边AD上，DE=$\frac{1}{3}$AD．连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A落在点F处，BF与AC交于点H，点O是AC的中点，连接OF并延长交CD于点G，则四边形GFHC的面积是$\frac{5184}{2431}$．

Answer 1

分析 建立如图坐标系，作FN⊥AD于N，延长BF交CD于M，连接AF．首先求出点F的坐标，再求出直线BM、OG、AC的解析式，利用方程组求出点H的坐标，根据S_{四边形GFHC}=S_△CHM-S_△GFM计算即可．

解答 解：建立如图坐标系，作FN⊥AD于N，延长BF交CD于M，连接AF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AD=6，
∵DE=$\frac{1}{3}$DA=2，∴AE=4，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵四边形ABFE的面积=$\frac{1}{2}$•AF•BE=2•$\frac{1}{2}$•AE•AB，
∴AF=$\frac{24\sqrt{13}}{13}$，
由△AFN∽△BEA，可得FN=$\frac{48}{13}$，AN=$\frac{72}{13}$，
∴DN=$\frac{6}{13}$，
∴F（$\frac{6}{13}$，$\frac{48}{13}$），D（3，3），A（6，0），B（6，6），
∴直线AC的解析式y=-x+6，
直线OG的解析式y=-$\frac{3}{11}$x+$\frac{42}{11}$，可得DG=$\frac{42}{11}$，
直线BM的解析式y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{7}{2}$，可得DM=$\frac{7}{2}$，GM=DG-DM=$\frac{7}{22}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{5}{12}x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{30}{17}}\\{y=\frac{72}{17}}\end{array}\right.$，可得H（$\frac{30}{17}$，$\frac{72}{17}$），
∴S_{四边形GFHC}=S_△CHM-S_△GFM=$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{7}{2}$）×$\frac{30}{17}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{22}$×$\frac{6}{13}$=$\frac{5184}{2431}$．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、平面坐标系、一次函数的应用等知识，解题的关键是建立平面直角坐标系，学会利用一次函数确定两条直线的交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．