Question

P为等边△ABC内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求∠BPC．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，根据旋转的性质可得BD=PB=4，AD=PC=3，∠BPC=∠ADB，判断出△BDP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PD=PB，∠BDP=60°，利用勾股定理逆定理判断出△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，然后求出∠ADB，即可得解．

解答：解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，
由旋转的性质得，BD=PB=4，AD=PC=3，∠BPC=∠ADB，
所以，△BDP是等边三角形，
所以，PD=PB=4，∠BDP=60°，
∵AD²+DP²=3²+4²=25，PA²=5²=25，
∴AD²+DP²=PA²，
∴△ADP是直角三角形，∠ADP=90°，
∴∠ADB=60°+90°=150°，
∴∠BPC=150°．

点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键．