Question

如图，以等腰直角△ABC的直角边AC作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：AB=2DF．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质可得∠ACD的大小，根据BC=CD即可求得∠CDB，即可求得∠ADB，即可解题；
（2）根据∠DFE=45°可得△DEF为等腰直角三角形，根据AD=2DE即可解题．

解答：解：（1）∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=60°+90°=150°，
∵BC=CD
∴∠BDC=

1

2

（180°-150°）=15°，
∴∠ADE=60°-15°=45°，
∴∠DFE=180°-∠DEF-∠EDF=45°，
（2）∵CE⊥AD，∠DFE=45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACB∽△DEF，
∴

DE

AC

=

DF

AB

=

1

2

，
∴AB=2DE．

点评：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了三角形相似的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△DEF是等腰直角三角形解题的关键．