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【题目】如图,已知BAD和BCE均为等腰直角三角形,BAD=BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;

(2)将图1中的BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:ACN为等腰直角三角形;

(3)将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)ACN仍为等腰直角三角形,证明见解析

【解析】

试题(1)由ENAD和点M为DE的中点可以证到ADM≌△NEM,从而证到M为AN的中点.

(2)易证AB=DA=NE,ABC=NEC=135°,从而可以证到ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,ACN=BCE=90°,则有ACN为等腰直角三角形.

(3)同(2)中的解题可得AB=DA=NE,ABC=NEC=180°﹣CBN,从而可以证到ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,ACN=BCE=90°,则有ACN为等腰直角三角形.

试题解析:解:(1)证明:如图1,

ENAD,∴∠MAD=MNE,ADM=NEM.

点M为DE的中点,DM=EM.

ADM和NEM中,∴△ADM≌△NEM(AAS).

AM=MN.M为AN的中点.

(2)证明:如图2,

BAD和BCE均为等腰直角三角形,AB=AD,CB=CE,CBE=CEB=45°.

ADNE,∴∠DAE+NEA=180°.

∵∠DAE=90°,∴∠NEA=90°.∴∠NEC=135°.

A,B,E三点在同一直线上,∴∠ABC=180°﹣CBE=135°.∴∠ABC=NEC.

∵△ADM≌△NEM(已证),AD=NE.

AD=AB,AB=NE.

ABC和NEC中,∴△ABC≌△NEC(SAS).

AC=NC,ACB=NCE.∴∠ACN=BCE=90°.

∴△ACN为等腰直角三角形.

(3)ACN仍为等腰直角三角形.证明如下:

如图3,此时A、B、N三点在同一条直线上.

ADEN,DAB=90°,∴∠ENA=DAN=90°.

∵∠BCE=90°,∴∠CBN+CEN=360°﹣90°﹣90°=180°.

A、B、N三点在同一条直线上,∴∠ABC+CBN=180°.∴∠ABC=NEC.

∵△ADM≌△NEM(已证),AD=NE.

AD=AB,AB=NE.

ABC和NEC中,∴△ABC≌△NEC(SAS).

AC=NC,ACB=NCE.∴∠ACN=BCE=90°.

∴△ACN为等腰直角三角形.

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