Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC ， OD与AC交于点E.

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是半圆的直径，

∴∠C=90°，

∵OD∥BC，

∴∠OEA=∠C=90°，∠AOD=∠B=70°，

∵OA=0D，

∴∠D=∠OAD= ，

∴在Rt△ADE中，∠DAC=90°-55°=35°.

（2）解：∵∠OEA=90°，

∴OE⊥AC，

∴AE= AC=1.5，

∵AB=4，

∴AO=OD=2，

∴在Rt△AEO中，OE= ，

∴DE=OD-OE= .

【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，再根据OD∥BC，证出∠AOD=∠B=70°及∠OEA=90°，再求出∠D的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠DAC的度数。
（2）由（1）的证明过程可知OE⊥AC，先根据垂径定理得出AE的长，再在Rt△AEO中，利用勾股定理求出OE的长，然后根据DE=OD-OE，求出结果。
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和勾股定理的概念，需要了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．