Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．若BD=2，BE=3，则AC的长为9．

Answer 1

分析 连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE，连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．

解答 解：连结AE，DC，如图，
∵AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，DE=BE=CE，
∵AB=AC，
∴BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{3}{BA}=\frac{2}{6}$，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．