Question

在平面直角坐标系中的△ABC，AB=BC=5，点A坐标为（0，4），点B坐标为（-3，0）．
（1）若点C在坐标轴上，则点C的坐标是

 

；
（2）如图1，当∠ABC=90°时，则点C的坐标是

 

；
（3）如图2，当∠ABC=60°，BC边与y轴交于点D，点E为AC边上一点，且AE=CD，连接BE与y轴交于点P，求证：PB=2PO．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1））由AB=BC=5，A（0，4），B（-3，0），容易得出点C坐标有三个解；
（2）作CD⊥x轴于点D，证明△BCD≌△ABO，得出BD=AO=4，CD=BO=3，OD=1，从而得出点C坐标是 （1，-3）；
（3）先证明△ABE≌CAD（SAS），得出∠ABE=∠CAD，证出∠BPO=60°，∠OBP=30°，即可证出PB=2PO．

解答：解：（1）∵AB=BC=5，A（0，4），B（-3，0），点C在坐标轴上，
∴点C坐标是 （0，-4）或（-8，0）或（2，0）；
故答案为：（0，-4）或（-8，0）或（2，0）；
（2）作CD⊥x轴于点D，如图1所示：
则∠CDB=∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BCD=∠ABO，
在△BCD和△ABO中，

∠BCD=∠ABO amp;  ∠CDB=∠AOB amp;  BC=AB amp;

 
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴BD=AO=4，CD=BO=3，
∴OD=4-3=1，
点C坐标是 （1，-3）；
故答案为：（1，-3）；
（3）证明：∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAD中，

AB=AC amp;  ∠BAE=∠C amp;  AE=CD amp;

∴△ABE≌CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPO=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠OBP=90°-60°=30°，
∵AO⊥BO，
∴PB=2PO．

点评：本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．