Question

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D（0，0），B（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E，F分别在BC，AB边上且F（1，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF解析式；
（3）点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由F（1，4），B（3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出AG=

GF2-AF2

=

3

，那么OG=OA-AG=4-

3

，于是G（0，4-

3

）；
（2）先在Rt△AGF中，由tan∠AFG=

AG

AF

=

3

1

=

3

，得出∠AFG=60°，再由折叠的性质得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt△BFE，求出BE=BF•tan60°=2

3

，
那么CE=4-2

3

，E（3，4-2

3

）．设直线EF的表达式为y=kx+b，将E（3，4-2

3

），F（1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；
（3）因为M、N均为动点，只有F、G已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG为一边，N点在x轴上；FG为一边，N点在y轴上；FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M点的坐标．

解答：解：（1）∵F（1，4），B（3，4），
∴AF=1，BF=2，
由折叠的性质得：GF=BF=2，
在Rt△AGF中，由勾股定理得，
AG=

GF2-AF2

=

3

．
∵B（3，4），
∴OA=4，
∴OG=4-

3

，
∴G（0，4-

3

）；

（2）在Rt△AGF中，∵tan∠AFG=

AG

AF

=

3

1

=

3

，
∴∠AFG=60°，
由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，
在Rt△BFE中，∵BE=BF•tan60°=2

3

，
∴CE=4-2

3

，
∴E（3，4-2

3

）．
设直线EF的表达式为y=kx+b，
∵E（3，4-2

3

），F（1，4），
∴

3k+b=4-2 3 k+b=4

，解得

k=- 3 b=4+ 3

，
∴y=-

3

x+4+

3

；

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：
①FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFMN为平行四边形，如图1所示．
过点G作EF的平行线，交x轴于点N₁，再过点N₁作GF的平行线，交EF于点M₁，得平行四边形GFM₁N₁．
∵GN₁∥EF，直线EF的解析式为y=-

3

x+4+

3

，G（0，4-

3

），
∴直线GN₁的解析式为y=-

3

x+4-

3

，
当y=0时，x=

4 3 -3

3

，N₁（

4 3 -3

3

，0）．
∵GFM₁N₁是平行四边形，且G（0，4-

3

），F（1，4），N₁（

4 3 -3

3

，0），
∴M₁（

4 3

3

，

3

）；
②FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFNM为平行四边形，如图2所示．
∵GFN₂M₂为平行四边形，
∴GN₂与FM₂互相平分．
∵G（0，4-

3

），N₂点纵坐标为0，
∴GN₂中点的纵坐标为2-

3

2

，
设GN₂中点的坐标为（x，2-

3

2

）．
∵GN₂中点与FM₂中点重合，
∴-

3

x+4+

3

=2-

3

2

，
∴x=

4 3 +9

6

，
∴GN₂中点的坐标为（

4 3 +9

6

，2-

3

2

），
∴N₂点的坐标为（

4 3 +9

3

，0）．
∵GFN₂M₂为平行四边形，且G（0，4-

3

），F（1，4），N₂（

4 3 +9

3

，0），
∴M₂（

4 3 +6

3

，-

3

）；
③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示．
∵GFN₃M₃为平行四边形，
∴GN₃与FM₃互相平分．
∵G（0，4-

3

），N₂点横坐标为0，
∴GN₃中点的横坐标为0，
∴F与M₃的横坐标互为相反数，
∴M₃的横坐标为-1，
当x=-1时，y=-

3

×（-1）+4+

3

=4+2

3

，
∴M₃（-1，4+2

3

）；
④FG为平行四边形的对角线，GMFN为平行四边形，如图4所示．
过点G作EF的平行线，交x轴于点N₄，连结N₄与GF的中点并延长，交EF于点M₄，得平行四边形GM₄FN₄．
∵G（0，4-

3

），F（1，4），
∴FG中点坐标为（

1

2

，4-

3

2

），
∵M₄N₄的中点与FG的中点重合，且N₄的纵坐标为0，
∴M₄的纵坐标为8-

3

．
解方程-

3

x+4+

3

=8-

3

，得x=

6-4 3

3

，
∴M₄（

6-4 3

3

，8-

3

）．
综上所述，直线EF上存在点M，使以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，此时M点坐标为M₁（

4 3

3

，

3

），M₂（

4 3 +6

3

，-

3

），M₃（-1，4+2

3

），M₄（

6-4 3

3

，8-

3

）．

点评：本题是一次函数的综合题，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数的解析式，矩形、平行四边形的性质，轴对称、平移的性质，勾股定理等，对解题能力要求较高．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有四种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．