Question

矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；
②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=

1

2

AD=4，设OP=x，则CO=8-x，由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=

1

2

PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=

1

2

QB，
再求出EF=

1

2

PB，由（1）中的结论求出PB=

82+42

=4

5

，最后代入EF=

1

2

PB即可得出线段EF的长度不变．

解答：解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴

OP

PA

=

CP

DA

=

1 4

=

1

2

，
∴CP=

1

2

AD=4，
设OP=x，则CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=

1

2

PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，

∠QFM=∠NFB ∠QMF=∠BNF MQ=BN

，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=

1

2

QB，
∴EF=EQ+QF=

1

2

PQ+

1

2

QB=

1

2

PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=

82+42

=4

5

，
∴EF=

1

2

PB=2

5

，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2

5

．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．