Question

13．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点，且OC=3OA，对称轴x=1交抛物线于D点．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上找点E使S_△BCD=S_△BCE，求E点的坐标；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点M，过M作MN⊥x轴于N点，使△BMN与△BCD相似？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，则点A的坐标为（-1，0），由点B与点A关于x=1对称可知B（3，0），将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式，从而可求得a=-1，b=2；
（2）过D点作DE∥BC交抛物线y=-x²+2x+3于E点，由△BCD与△BCE是同底等高的三角形可知S_△BCD=S_△BCE，设直线DE的解析式为y=-x+b，将点D的坐标代入可求得直线DE的解析式，然后与抛物线的解析式联立可求得点E的坐标；
（3）由两点间的而距离公式可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，设M（x，y），则MN=y=-x²+2x+3，BN=3-x，然后根据相似三角形的性质列出关于x的方程，从而可求得点M的坐标．

解答 解：（1）∵将x=0代入得y=3，
∴C（0，3）．
∵OC=3OA，
∴OA=1．
∴A（-1，0）．
∵点B与点A关于x=1对称，
∴B（3，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵将x=1代入抛物线的解析式得：y=-1+2+3=4，
∴D（1，4）．
如图1，过D点作DE∥BC交抛物线y=-x²+2x+3于E点．

设直线DE的解析式为y=-x+b，
将点D的坐标代入得：-1+b=4，解得：b=5，则直线DE的解析式为y=-x+5．
将y=-x+5与y=-x²+2x+3联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$．
∴E（2，3）．
（3）存在．
由两点间的而距离公式可知：BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{\;}}$=$\sqrt{2}$．
设M（x，y），则MN=y=-x²+2x+3，BN=3-x．
①如图2所示：

∵当△BMN∽△DBC时，$\frac{BN}{NM}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3-x}{-{x}^{2}+2x+3}=\frac{1}{3}$．
解得：x₁=2，x₂=3（舍去）．
∵当x=2时，y=3，
∴M（2，3）．
②如图3所示：


∵当△BMN∽△BDC时，$\frac{MN}{BN}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3-x}=\frac{1}{3}$．
解得：x₁=-$\frac{2}{3}$，x2=3（舍去）．
当x=-$\frac{2}{3}$时，y=$\frac{11}{9}$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）
综上，存在点M（2，3）或（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$），使△BMN与△BCD相似．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数与二次函数图象的交点、相似三角形的性质和判定等知识点，依据相似三角形的性质列出关于x的方程是解题的关键．