Question

18．如图，E是正方形ABCD对角线延长线上一点，连接DE，作E作DE的垂线CB和BA的延长线分别交于F和G，判断△GDF的形状并证明你的结论．

Answer 1

分析 由垂直的定义得到∠DEF=∠DEG=90°，根据四边形的性质得到∠BCD=∠BAD=90°，AD=CD，推出A，D，G，E四点共圆，E，F，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠AED=∠AGD，∠CFD=∠CED，等量代换得到∠CFD=∠AGD，证得△CDF≌△ADG，根据全等三角形的性质得到DF=DG，∠FDC=∠ADG，求出∠FDG=90°，即可得到结论．

解答 解：△GDF是等腰直角三角形，
∵DE⊥GF，
∴∠DEF=∠DEG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BAD=90°，AD=CD，
∴∠DAG=90°，
∴A，D，G，E四点共圆，E，F，C，D四点共圆，
∴∠AED=∠AGD，∠CFD=∠CED，
∴∠CFD=∠AGD，
在△CDF与△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠DAG}\\{∠CFD=∠AGD}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ADG，
∴DF=DG，∠FDC=∠ADG，
∴∠FDC+∠ADF=∠ADF+∠ADG=90°，
∴∠FDG=90°，
∴△GDF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，正确的判断四点共圆是解题的关键．