Question

6．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），其中b＞a＞0，点C在第一象限，BA⊥BC，BA=BC，点F在线段OB上，OA=OF，AF的延长线与CB的延长线交于点D，AB与CF交于点E．
（1）直接写出点C的坐标：（b，a+b）（用含a，b的式子表示）；
（2）求证：∠BAF=∠BCE；
（3）设点C关于直线AB的对称点为M，点C关于直线AF的对称点为N．求证：M，N关于x轴对称．

Answer 1

分析 （1）过C点作CP⊥y轴于点P，根据AAS证明△AOB≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；
（2）根据全等三角形的性质的性质和等量代换即可得到结论；
（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解．

解答 （1）解：如图1，过C点作CP⊥y轴于点P，
∵CP⊥y轴，
∴∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBP=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBP=∠BAO，
在△AOB与△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AOB}\\{∠CBP=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BPC（AAS），
∴CE=OB=b，BE=OA=a，
∴OP=OB+BP=a+b，
∴点C的坐标为（b，a+b），
故答案为：（b，a+b）；

（2）证明：∵△AOB≌△BPC，
∴BP=OA=OF，CP=BO，
∴FP=OB=CP，
∴∠PFC=45°，∠AFC=90°，
∴∠BAF=∠BCE；

（3）证明：如图2，∵点C关于直线AB的对称点为M，点C关于直线AF的对称点为N，
∴AM=AC，AN=AC，
∴AM=AN，
∵∠1=∠5，∠1=∠6，
∴∠5=∠6，
在△MAH与△NAH中，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠5=∠6}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△MAH≌△NAH（SAS），
∴MH=NH，
∴M，N关于x轴对称．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，关于直线对称的性质．关键是AAS证明△AOB≌△BEC，SAS证明△DAH≌△GAH．