Question

16．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=∠90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠EDC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明三角形全等即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到∠BCD=∠BAE，利用等腰直角三角形的性质求出∠BDE的度数，即可确定出∠EDC的度数．

解答 证明：（1）
∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°．
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBD；
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°．
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°-15°=75°，
又∵BE=BD，∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°，
∴∠EDC=75°-45°=30°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．