Question

【题目】在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=APAB；

（2）若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴ ，

∴AC2=APAB；

（2）

解：①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，

∵M是PC的中点，

∴MG∥AC，

∴∠BGM=∠A，

∵∠ACP=∠PBM，

∴△APC∽△GMB，

∴ ，

即 ，

∴x= ，

∵AB=3，

∴AP=3﹣ ，

∴PB= ；

②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，

∵∠ABC=45°，∠A=60°，

∴CH= ，HE= +x，

∵CE2= +9 +x）2，

∵PB=BE，PM=CM，

∴BM∥CE，

∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，

∵∠E=∠E，

∴△ECP∽△EAC，

∴ ，

∴CE2=EPEA，

∴3+3+x2+2 x=2x（x+ +1），

∴x= ﹣1，

∴PB= ﹣1．

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，根据三角形的中位线的性质得到MG∥AC，由平行线的性质得到∠BGM=∠A，∵∠根据相似三角形的性质得到 ，求得x= ，即可得到结论；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP解直角三角形得到CH= ，HE= +x，根据勾股定理得到CE2= +9 +x）2根据相似三角形的性质得到CE2=EPEA列方程即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的性质和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．