【题目】如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至,旋转角为
.
(1)当点恰好落在EF边上时,求旋转角
的值;
(2)如图2,G为BC的中点,且00<<900,求证:
;
(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,与
能否全等?若能,直接写出旋转角
的值;若不能,说明理由.
【答案】(1)∠α=300(2)见解析(3)旋转角a的值为1350或3150时,△BCD′与∠DCD′全等
【解析】
试题(1)根据旋转的性质得CE=CH=1,即可得出结论;
(2)由G为BC中点可得CG=CE,根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′CE,则∠GCD′=∠DCE′=90°+α,然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD,则GD′=E′D;
(3)根据正方形的性质得CB=CD,而CD=CD′,则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形,当两顶角相等时它们全等,当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时,可计算出α=135°,当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时,可计算得到α=315°.
试题解析:(1)
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,∴CE=CH=1,∴△CEH为等腰直角三角形,∴∠ECH=45°,∴∠α=30°;
(2)证明:∵G为BC中点,∴CG=1,∴CG=CE,∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,∴∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′=CG,∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α,在△GCD′和△E′CD中,∵CD′=CD,∠GCD=∠DCE′,CG=CE′,∴△GCD′≌△E′CD(SAS),∴GD′=E′D;
(3)解:能.
理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,∴CB=CD,∵CD′=CD′,∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形,当∠BCD′=∠DCD′时,△BCD′≌△DCD′,当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时,则旋转角α=(360°-90°)÷2=135°,当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时,∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°,则α=360°﹣90°÷2=315°,即旋转角a的值为135°或315°时,△BCD′与△DCD′全等.
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【题目】节能环保的油电混合动力汽车,既可用油做动力行驶,也可用电做动力行驶,某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,则费用为80元;若完全用电做动力行驶,则费用为30元,已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.
(1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元?
(2)甲、乙两地的距离是多少千米?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,
轴于点
,点
在反比例函数
的图像上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求面积;
(3)在坐标轴上是否存在一点,使得以
、
、
三点为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点
的坐标;若不存在,简述你的理由.
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【题目】某商店经销一种成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克.若销售价每涨1元,则月销售量减少10千克.
(1)要使月销售利润达到最大,销售单价应定为多少元?
(2)要使月销售利润不低于8000元,请结合图象说明销售单价应如何定?
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2018秒时,点P的坐标是点( )
A. (2017,1) B. (2018,0) C. (2017,﹣1) D. (2019,0)
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【题目】某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支付其他费用80元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元?
(3)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折叠使点A到点A′处,DA′交BC于点F.
(1)求证:FB=FD;
(2)求证:CA′∥BD;
(3)求△DBF的面积.
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【题目】如图,已知四边形中,
,
,且
,
,对角线
.
求证:四边形
是矩形;
如图
,若动点
从点
出发,在
边上以每秒
的速度向点
匀速运动,同时动点
从点
出发,在
边上以每秒
的速度向点
匀速运动,运动时间为
秒
,连接
、
,若
,求
的值;
如图
,若点
在对角线
上,
,动点
从
点出发,以每秒
的速度沿
运动至点
止.设点
运动了
秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点
、
、
为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为( )
A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD
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