Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求面积；

（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，6）或（0，2）．

【解析】

（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；
（2）由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，进而可得出∠AOC＝30°，结合三角形内角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所对的直角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）根据勾股定理可求出OB的长，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．

（1）把代入反比例函数，得：，

所以反比例函数的表达式为；

（2），轴于，

，，

，

，

∴∠OAC＝60°，

，

，

，

，

；

（3）存在，

在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，

∴OB＝，

分三种情况考虑：

①当OP＝OB时，如图2所示，

∵OB＝，

∴OP＝，

∴点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；

②当BP＝BO时，如图3，

当点P在y轴上时，过点B做BD⊥y轴于点D，则OD＝BC＝ABAC＝3，

∵BP＝BO，

∴OP＝2OD＝6，

∴点P的坐标为（0，6）；

当点P在x轴上时，

∵BP＝BO，

∴OP＝2OC＝，

∴点P的坐标为（，0）；

③当PO＝PB时，如图4所示．

若点P在x轴上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，

∴△BOP为等边三角形，

∴OP＝OB＝，

∴点P的坐标为（，0）；

若点P在y轴上，设OP＝a，则PD＝3a，

∵PO＝PB，

∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3a）2＋3，

解得：a＝2，

∴点P的坐标为（0，2），

综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，6）或（0，2）．