Question

9．问题提出：如图，已知：线段AB，试在平面内找到符合条件的所有点C，使∠ACB=30°．（利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：先作出等边三角形AOB，然后以点O 为圆心，OA长为半径作⊙O，则优弧AB上的点即为所要求作的点（点A、B除外），根据对称性，在AB的另一侧符合条件的点C易得．请根据提示，完成作图．
自主探索：在平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（-1，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，-2-$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 （1）利用题中所给思路画出两段优弧即可；
（2）类似（1）中的画法作出满足条件的C点，如图2，然后利用勾股定理计算出CD的长，从而确定C点坐标，利用对称可得到C′点的坐标．

解答 解：（1）如图1，两段优弧（不含A、B两端点）为所作；

（2）如图2，

先作等腰直角△PAB，再以P点为圆心，PA为半径作⊙O交y轴于C点，
作PD⊥y轴于D，易得P（1，2），PA=2$\sqrt{2}$，
∴PC=2$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴OC=2+$\sqrt{7}$，
∴C（0，2+$\sqrt{7}$），
同理可得C′（0，-2-$\sqrt{7}$），
综上所述，满足条件的C点坐标为C（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，-2-$\sqrt{7}$）．
故答案为（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，-2-$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是圆周角定理的运用．