Question

【题目】已知，在⊙O中，AB、CD是直径，弦AE∥CD．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，直线EC与直线AB交于点F，点G在OD上，若FO＝FG，求证：△CFG是等腰三角形；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，若AE+CD＝BD，DG＝4，求线段FC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）FC＝4．

【解析】

（1）连接OE，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出∠EOC＝∠COB，从而可得出结果；

（2）连接BC，设∠CBO＝α，先根据等腰三角形的性质及对顶角相等求出∠FGO＝∠FOG＝180°﹣2α，再根据平行线的性质和圆内接四边形的性质得出∠FEA＝∠OBC＝∠FCD＝α，在△FCG中利用三角形的内角和可得出∠CFG＝∠FCG＝α，最后可得出FG=CG；

（3）连接AC，CB，EO，延长AB至M，使BM＝AE，连接CM，过点C作CH⊥AB于H，先利用SAS证明△AEC≌△MBC，得出AC＝CM，再由cos∠CAB＝＝＝，设AH＝3x，AC＝4x，进一步可得出．再由平行得出△AEF∽△OCF，

有，再根据线段间的等量关系可求出x的值，从而可得出AC，BC的长，进而得出EC的长，最后根据可得出结果．

（1）证明：连接OE，

∵AO＝EO，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵AE∥CD，

∴∠OAE＝∠COB，∠OEA＝∠EOC，

∴∠EOC＝∠COB，

∴；

（2）证明：连接BC，设∠CBO＝α，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝α，

∴∠BOC＝180°﹣2α，

∴∠FOG＝180°﹣2α，

∵FO＝FG，

∴∠FGO＝∠FOG＝180°﹣2α，

∵四边形AECB是圆内接四边形，

∴∠FEA＝∠OBC=α，

∵AE∥CD，

∴∠FEA＝∠FCD＝α，

∴∠CFG＝180°﹣∠FCD﹣∠FGC＝α，

∴∠CFG＝∠FCG＝α，

∴FG＝CG，

∴△FCG是等腰三角形；

（3）解：如图，连接AC，CB，EO，延长AB至M，使BM＝AE，连接CM，过点C作CH⊥AB于H，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴AC＝BD，

∵AB＝CD，AE+CD＝BD，

∴AE+AB＝AC，

∴BM+AB＝AM＝AC，

∴，

∵，

∴∠EAC＝∠CAB，EC＝BC，

∵四边形AECB是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，且∠ABC+∠CBM＝180°，

∴∠AEC＝∠CBM，且EC＝BC，AE＝BM，

∴△AEC≌△MBC（SAS），

∴AC＝CM，且CH⊥AB，

∴AH＝MH＝AM，

∵cos∠CAB＝＝＝，

∴设AH＝3x，AC＝4x，则AM＝6x，AB＝x，

∴BH＝AB﹣AH＝x，BM＝AE=HM﹣BH＝x，

∴，

∵AE∥CO，

∴△AEF∽△OCF，

∴，

设FA＝a，则FO＝4a，AO＝FO﹣FA＝3a，

∵FO＝FG＝CG＝4a，

∴OG＝CG﹣CO＝a，

∴DG＝DO﹣OG＝3a﹣a＝2a＝4，

∴a＝2，

∴AO＝CO＝6，

∴AB＝12，

∴x＝12，

∴x＝，

∴AC＝9，

∴BC＝＝＝3，

∴EC＝3，

∵，

∴FC＝4．