Question

19．阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式$\frac{{{x^2}-x+3}}{x+1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x²-x+3=（x+1）（x+a）+b
则x²-x+3=（x+1）（x+a）+b=x²+ax+x+a+b=x²+（a+1）x+a+b
∵对于任意x上述等式成立
∴$\left\{\begin{array}{l}a+1=-1\\ a+b=3\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=5\end{array}\right.$
∴$\frac{{{x^2}-x+3}}{x+1}=\frac{（x+1）（x-2）+5}{x+1}=x-2+\frac{5}{x+1}$
这样，分式$\frac{{{x^2}-x+3}}{x+1}$就拆分成一个整式x-2与一个分式$\frac{5}{x+1}$的和的形式．
（1）将分式$\frac{{{x^2}+6x-3}}{x-1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为$x+7+\frac{4}{x-1}$；
（2）已知整数x使分式$\frac{{2{x^2}+5x-20}}{x-3}$的值为整数，则满足条件的整数x=4、16、2、-10；
（3）当-1＜x＜1时，求分式$\frac{{{x^4}+3{x^2}-2}}{{{x^2}+1}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答；
（3）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据偶次方的非负性解答．

解答 解：（1）由分母x-1，可设x²+6x-3=（x-1）（x+a）+b
则x²+6x-3=（x-1）（x+a）+b=x²+ax-x+a-b=x²+（a-1）x-a+b
∵对于任意x上述等式成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=6}\\{-a+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\frac{{{x^2}+6x-3}}{x-1}$拆分成$x+7+\frac{4}{x-1}$，
故答案为：$x+7+\frac{4}{x-1}$；
（2）由分母x-3，可设2x²+5x-20=（x-3）（2x+a）+b
则2x²+5x-20=（x-3）（2x+a）+b=2x²+ax-6x-3a+b=2x²+（a-6）x-3a+b
∵对于任意x上述等式成立，
$\left\{\begin{array}{l}{a-6=5}\\{-3a+b=-20}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=11}\\{b=13}\end{array}\right.$，
$\frac{{2{x^2}+5x-20}}{x-3}$拆分成2x+11+$\frac{13}{x-3}$，
则满足条件的整数x=4、16、2、-10，
故答案为：4、16、2、-10；
（3）由分母x²+1，可设x⁴+3x²-2=（x²+1）（x²+a）+b
则x⁴+3x²-2=（x²+1）（x²+a）+b=x⁴+ax²+x²+a+b=x⁴+（a+1）x²+a+b
∵对于任意x上述等式成立，
$\left\{\begin{array}{l}{a+1=3}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{{x^4}+3{x^2}-2}}{{{x^2}+1}}={x^2}+2-\frac{4}{{{x^2}+1}}$，
当x=0时，这两式之和最小，所以最小值为-2．

点评 本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法是解题的关键．