Question

9．如图，定点C、动点D在⊙O上，并且位于直径AB的两侧，AB=10，AC=6，过点C在作CE⊥CD交DB的延长线于点E，则线段CE长度的最大值为（　　）

• A． $\frac{20}{3}$
• B． $\frac{40}{3}$
• C． 16
• D． $\frac{64}{5}$

Answer 1

分析 当CD是直径时，CE最长，由AB是直径，得到∠ACB=90°，利用勾股定理得出BC的长度，又因为∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，推出△ABC∽△DCE，根据相似三角形的性质列方程求解．

解答 解：当CD是直径时，CE最长，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BC}{CE}$，
即$\frac{6}{10}$=$\frac{8}{CE}$，
∴CE=$\frac{40}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，确定CE什么时候取最大值是解题的关键．